Ticket #7226: tour_algebra.rst

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1Álgebra Y Cálculo Básicos
2==========================
3
4Sage puede efectuar varios cómputos relacionados al algebra y cálculo básicos:
5por ejemplo, encontrar soluciones de ecuaciones, diferenciación, integración y transformadas de Laplace.
6Véa la documentación "Construcciones En Sage"  para más ejemplos.
7
8Resolviendo Ecuaciones
9----------------------
10
11Resolviendo Ecuaciones Con Exactitud
12~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
13
14La función ``solve`` resuelve ecuaciones. Para usarla, primero especifica
15algunas variables; luego los argumentos de ``solve`` son una ecuación (o un
16sistema de ecuaciones), junto con las variables a resolver:
17
18::
19
20    sage: x = var('x')
21    sage: solve(x^2 + 3*x + 2, x)
22    [x == -2, x == -1]
23
24Puedes resolver ecuaciones para una variable en terminos de otras:
25
26::
27
28    sage: x, b, c = var('x b c')
29    sage: solve([x^2 + b*x + c == 0],x)
30    [x == -1/2*b - 1/2*sqrt(b^2 - 4*c), x == -1/2*b + 1/2*sqrt(b^2 - 4*c)]
31
32Puedes también resolver para varias variables:
33
34::
35
36    sage: x, y = var('x, y')
37    sage: solve([x+y==6, x-y==4], x, y)
38    [[x == 5, y == 1]]
39
40El siguiente ejemplo del uso de Sage para resolver un sistema de ecuaciones
41no-lineales fué proporcionado por Jason Grout: primero, resolvemos el sistema
42simbolicamente:
43
44::
45
46    sage: var('x y p q')
47    (x, y, p, q)
48    sage: eq1 = p+q==9
49    sage: eq2 = q*y+p*x==-6
50    sage: eq3 = q*y^2+p*x^2==24
51    sage: solve([eq1,eq2,eq3,p==1],p,q,x,y)
52    [[p == 1, q == 8, x == -4/3*sqrt(10) - 2/3, y == 1/6*sqrt(2)*sqrt(5) - 2/3],
53     [p == 1, q == 8, x == 4/3*sqrt(10) - 2/3, y == -1/6*sqrt(2)*sqrt(5) - 2/3]]
54
55Para aproximaciones numéricas de las soluciones, puedes usar en lugar de ello:
56
57.. link
58
59::
60
61    sage: solns = solve([eq1,eq2,eq3,p==1],p,q,x,y, solution_dict=True)
62    sage: [[s[p].n(30), s[q].n(30), s[x].n(30), s[y].n(30)] for s in solns]
63    [[1.0000000, 8.0000000, -4.8830369, -0.13962039],
64     [1.0000000, 8.0000000, 3.5497035, -1.1937129]]
65
66(La función ``n`` imprime una aproximacion numérica, y el
67argumento es el número de bits de precisión.)
68
69Resolviendo Ecuaciones Numéricamente
70~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
71
72A menudo, ``solve`` no podrá encontrar una solución exacta para
73la ecuación o ecuaciones especificadas.  Cuando falla, puedes usar
74``find_root`` para encontrar una solución numérica.  Por ejemplo, ``solve`` nó
75devuelve nada interesante para la siguiente ecuación::
76
77    sage: theta = var('theta')
78    sage: solve(cos(theta)==sin(theta))
79    [sin(theta) == cos(theta)]
80
81Por otro lado, podemos usar ``find_root`` para encontrar una solución a la
82ecuación de arriba en el rango :math:`0 < \theta < \pi/2`::
83
84    sage: find_root(cos(theta)==sin(theta),0,pi/2)
85    0.78539816339744839
86
87Diferenciación, Integración, etc.
88----------------------------------
89
90Sage sabe cómo diferenciar e integrar muchas funciones.
91Por ejemplo, para diferenciar :math:`\sin(u)` con respecto a :math:`u`,
92haga lo siguiente:
93
94::
95
96    sage: u = var('u')
97    sage: diff(sin(u), u)
98    cos(u)
99
100Para calcular la cuarta derivada de :math:`\sin(x^2)`:
101
102::
103
104    sage: diff(sin(x^2), x, 4)
105    16*x^4*sin(x^2) - 48*x^2*cos(x^2) - 12*sin(x^2)
106
107Para calcular las derivadas parciales de :math:`x^2+17y^2` con
108respecto a *x* y *y*, respectivamente:
109
110::
111
112    sage: x, y = var('x,y')
113    sage: f = x^2 + 17*y^2
114    sage: f.diff(x)
115    2*x
116    sage: f.diff(y)                               
117    34*y
118
119Nos pasamos a integrales, tanto indefinidas como definidas.
120Para calcular :math:`\int x\sin(x^2)\, dx` y :math:`\int_0^1 \frac{x}{x^2+1}\, dx`
121
122::
123
124    sage: integral(x*sin(x^2), x)
125    -1/2*cos(x^2)
126    sage: integral(x/(x^2+1), x, 0, 1)
127    1/2*log(2)
128
129Para calcular la descomposición en fracciones parciales de
130:math:`\frac{1}{x^2-1}`:
131
132::
133
134    sage: f = 1/((1+x)*(x-1))
135    sage: f.partial_fraction(x)
136    1/2/(x - 1) - 1/2/(x + 1)
137
138.. _section-systems:
139
140Resolviendo Ecuaciones Diferenciales
141------------------------------------
142
143Puedes usar a Sage para investigar ecuaciones diferenciales ordinarias.
144Para resolver the ecuación :math:`x'+x-1=0`:
145
146::
147
148    sage: t = var('t')    # defina una variable t
149    sage: x = function('x',t)   # defina x como una función de esa variable
150    sage: DE = diff(x, t) + x - 1
151    sage: desolve(DE, [x,t])
152    (c + e^t)*e^(-t)
153
154Esto utiliza el interfáz a Maxima de Sage [Max]_, asi que su resultado puede ser
155un poco diferente de otros resultados de Sage. En este caso, esto dice que la
156solución general a la ecuación diferencial es :math:`x(t) = e^{-t}(e^{t}+c)`.
157
158También puedes calcular transformadas de Laplace; la transformada de Laplace
159de :math:`t^2e^t -\sin(t)` es calculada como sigue:
160
161::
162
163    sage: s = var("s")
164    sage: t = var("t")
165    sage: f = t^2*exp(t) - sin(t)
166    sage: f.laplace(t,s)
167    2/(s - 1)^3 - 1/(s^2 + 1)
168
169Aquí está un ejemplo más complicado. El desplazamiento desde el equilibrio
170(respectivamente) para un resorte acoplado sujeto a una pared a la izquierda
171
172::
173
174    |------\/\/\/\/\---|mass1|----\/\/\/\/\/----|mass2|
175             spring1               spring2
176
177está modelado por el sistema de ecuaciónes diferenciales de segundo órden
178
179.. math::
180    m_1 x_1'' + (k_1+k_2) x_1 - k_2 x_2 = 0
181
182    m_2 x_2''+ k_2 (x_2-x_1) = 0,
183
184
185
186donde :math:`m_{i}` es la masa del objeto *i*, :math:`x_{i}` es
187el desplazamiento desde el equilibrio de la masa *i*, y :math:`k_{i}`
188es la constante de resorte para el resorte *i*.
189
190**Ejemplo:** Utiliza Sage para resolver el problema de arriba con
191:math:`m_{1}=2`, :math:`m_{2}=1`, :math:`k_{1}=4`,
192:math:`k_{2}=2`, :math:`x_{1}(0)=3`, :math:`x_{1}'(0)=0`,
193:math:`x_{2}(0)=3`, :math:`x_{2}'(0)=0`.
194
195Solución: Toma la transformada de Laplace de la primera ecuación (con
196la notación :math:`x=x_{1}`, :math:`y=x_{2}`):
197
198::
199
200    sage: de1 = maxima("2*diff(x(t),t, 2) + 6*x(t) - 2*y(t)")
201    sage: lde1 = de1.laplace("t","s"); lde1
202    2*(-?%at('diff(x(t),t,1),t=0)+s^2*?%laplace(x(t),t,s)-x(0)*s)-2*?%laplace(y(t),t,s)+6*?%laplace(x(t),t,s)
203
204Esto es dificil de leer, pero dice que
205
206.. math:: -2x'(0) + 2s^2*X(s) - 2sx(0) - 2Y(s) + 6X(s) = 0
207
208
209(donde la transformada de Laplace de una función en letra minúscula como
210:math:`x(t)` es la función en letra mayúscula :math:`X(s)`).
211Toma la transformada de Laplace de la segunda ecuación:
212
213::
214
215    sage: de2 = maxima("diff(y(t),t, 2) + 2*y(t) - 2*x(t)")
216    sage: lde2 = de2.laplace("t","s"); lde2
217    -?%at('diff(y(t),t,1),t=0)+s^2*?%laplace(y(t),t,s)+2*?%laplace(y(t),t,s)-2*?%laplace(x(t),t,s)-y(0)*s
218
219Esto dice
220
221.. math:: -Y'(0) + s^2Y(s) + 2Y(s) - 2X(s) - sy(0) = 0.
222
223
224Introduce las condiciones iniciales para :math:`x(0)`, :math:`x'(0)`,
225:math:`y(0)` y :math:`y'(0)` y resuelve las dos ecuaciones resultantes:
226
227::
228
229    sage: var('s X Y')
230    (s, X, Y)
231    sage: eqns = [(2*s^2+6)*X-2*Y == 6*s, -2*X +(s^2+2)*Y == 3*s]
232    sage: solve(eqns, X,Y)
233    [[X == 3*(s^3 + 3*s)/(s^4 + 5*s^2 + 4),
234      Y == 3*(s^3 + 5*s)/(s^4 + 5*s^2 + 4)]]
235
236Ahora toma la transformada inversa de Laplace para obtener la respuesta:
237
238::
239
240    sage: var('s t')
241    (s, t)
242    sage: inverse_laplace((3*s^3 + 9*s)/(s^4 + 5*s^2 + 4),s,t)
243    cos(2*t) + 2*cos(t)
244    sage: inverse_laplace((3*s^3 + 15*s)/(s^4 + 5*s^2 + 4),s,t)
245    -cos(2*t) + 4*cos(t)
246
247Por tanto, la solución es
248
249.. math:: x_1(t) = \cos(2t) + 2\cos(t), \quad x_2(t) = 4\cos(t) - \cos(2t).
250
251
252Esto puede graficarse paramétricamente usando
253
254::
255
256    sage: t = var('t')
257    sage: P = parametric_plot((cos(2*t) + 2*cos(t), 4*cos(t) - cos(2*t) ),\
258    ...   0, 2*pi, rgbcolor=hue(0.9))
259    sage: show(P)
260
261Los componentes individuales pueden graficarse usando
262
263::
264
265    sage: t = var('t')
266    sage: p1 = plot(cos(2*t) + 2*cos(t), 0, 2*pi, rgbcolor=hue(0.3))
267    sage: p2 = plot(4*cos(t) - cos(2*t), 0, 2*pi, rgbcolor=hue(0.6))
268    sage: show(p1 + p2)
269
270(Para más sobre graficado, véa :ref:`section-plot`.)
271
272REFERENCIAS: Nagle, Saff, Snider, Fundamentos De Ecuaciones
273Diferenciales, 6a ed, Addison-Wesley, 2004. (véase § 5.5).
274
275Método De Euler Para Sistemas De Ecuaciones Diferenciales
276---------------------------------------------------------
277
278En el siguiente ejemplo, ilustraremos el método de Euler para EDOs
279de primer y segundo órden. Primero, recordemos la idea básica para
280ecuaciones de primer órden. Dado un problema con valor inicial de la forma
281
282.. math::
283    y'=f(x,y)
284    y(a)=c
285
286
287queremos encontrar el valor aproximado de la solución en :math:`x=b` con :math:`b>a`.
288
289Recuerda de la definición de derivada que
290
291.. math::  y'(x) \approx \frac{y(x+h)-y(x)}{h},
292
293
294donde :math:`h>0` está dado y és pequeño. Ésto junto con la ED
295dan :math:`f(x,y(x))\approx
296\frac{y(x+h)-y(x)}{h}`. Ahora resuelve para :math:`y(x+h)`:
297
298.. math::   y(x+h) \approx y(x) + h*f(x,y(x)).
299
300
301Si llamamos a :math:`h f(x,y(x))` el "término de corrección" (por falta de
302algo mejor), llamamos a :math:`y(x)` the "el viejo valor de *y*", y
303llamamos a :math:`y(x+h)` el "nuevo valor de *y*", entonces ésta
304aproximación puede re-expresarse como
305
306.. math::   y_{nuevo} \approx y_{viejo} + h*f(x,y_{viejo}).
307
308
309Si descomponemos el intervalo desde *a* a *b* en *n* pasos, de modo que
310:math:`h=\frac{b-a}{n}`, entonces podemos registrar la información para
311éste método en una tabla.
312
313============== ==================   ================
314:math:`x`      :math:`y`            :math:`hf(x,y)`
315============== ==================   ================
316:math:`a`      :math:`c`            :math:`hf(a,c)`
317:math:`a+h`    :math:`c+hf(a,c)`    ...
318:math:`a+2h`   ...                   
319...                                 
320:math:`b=a+nh` ???                  ...
321============== ==================   ================ 
322
323
324La meta es llenar todos los espacios de la tabla, una fila a
325la véz, hasta que lleguemos a la casilla ???, que és la
326 aproximación del método de Euler para :math:`y(b)`.
327
328La idea para los sistemas de EDOs es similar.
329
330**Ejemplo:** Aproxima numéricamente :math:`z(t)` en :math:`t=1` usando 4
331pasos del método de Euler, donde :math:`z''+tz'+z=0`,
332:math:`z(0)=1`, :math:`z'(0)=0`.
333
334Debemos reducir la EDO de segundo órden a un sistema de dos EDs
335de primer órden (usando :math:`x=z`, :math:`y=z'`) y aplicar el método de Euler:
336
337::
338
339    sage: t,x,y = PolynomialRing(RealField(10),3,"txy").gens()
340    sage: f = y; g = -x - y * t
341    sage: eulers_method_2x2(f,g, 0, 1, 0, 1/4, 1)
342          t                x            h*f(t,x,y)                y       h*g(t,x,y)
343          0                1                  0.00                0           -0.25
344        1/4              1.0                -0.062            -0.25           -0.23
345        1/2             0.94                 -0.12            -0.48           -0.17
346        3/4             0.82                 -0.16            -0.66          -0.081
347          1             0.65                 -0.18            -0.74           0.022
348
349Por tanto, :math:`z(1)\approx 0.75`.
350
351Tambien podemos graficar los puntos :math:`(x,y)` para obtener una representación
352aproximada de la curva. La función ``eulers_method_2x2_plot`` hará esto;
353para poder usarla, necesitamos definir las funciones *f* y
354*g* que toman un argumento con tres coordenadas: (*t*, *x*,*y*).
355
356::
357
358    sage: f = lambda z: z[2]        # f(t,x,y) = y
359    sage: g = lambda z: -sin(z[1])  # g(t,x,y) = -sin(x)
360    sage: P = eulers_method_2x2_plot(f,g, 0.0, 0.75, 0.0, 0.1, 1.0)
361
362A estas alturas, ``P`` está guardando dos gráficas: ``P[0]``, el gráfico de *x*
363vs. *t*, y ``P[1]``, el gráfico de *y* vs. *t*. Podemos graficar ámbas como sigue:
364
365.. link
366
367::
368
369    sage: show(P[0] + P[1])
370
371(Para más sobre graficado, véa :ref:`section-plot`.)
372
373Funciones Especiales
374--------------------
375
376Se han implementado varios polinomios ortogonales y funciones especiales,
377utilizando a PARI [GAP]_ como Maxima [Max]_. Estos están
378documentados en las secciones apropiadas ("Polinomios Ortogonales"
379y "Funciones Especiales", respectivamente) de el manual de referencia de Sage.
380
381::
382
383    sage: x = polygen(QQ, 'x')
384    sage: chebyshev_U(2,x)
385    4*x^2 - 1
386    sage: bessel_I(1,1,"pari",250)
387    0.56515910399248502720769602760986330732889962162109200948029448947925564096
388    sage: bessel_I(1,1)
389    0.565159103992485
390    sage: bessel_I(2,1.1,"maxima")  # los últimos digitos son al azar
391    0.16708949925104899
392
393Hasta este punto, Sage unicamente ha encapsulado estas funciones para uso numérico.
394Para uso simbólico, por favor utiliza el interfáz a Maxima directamente, como en
395el siguiente ejemplo:
396
397::
398
399    sage: maxima.eval("f:bessel_y(v, w)")
400    '?%bessel_y(v,w)'
401    sage: maxima.eval("diff(f,w)")
402    '(?%bessel_y(v-1,w)-?%bessel_y(v+1,w))/2'
403
404.. [GAP] El Grupo GAP, ``GAP - Grupos, Algorítmos y Programación``, http://www.gap-system.org
405
406.. [Max] Maxima, http://maxima.sf.net/