# Ticket #19221: hyperoval.py

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Hyperovals in GF(2n)

Line
1def hyperoval(q):
2    r"""
3    Return an hyperoval in finite Desarguesian projective planes when q=2^n
4    """
5    assert q%2==0 and is_prime_power(q)
6
7    q2 = q*q
8    K = FiniteField(q, 'x')
9    zero = K.zero()
10    one  = K.one()
11    K_to_int = {x:i for i,x in enumerate(K)}
12
13    # affine plane are the points: K_to_int[x] + q*K_to_int[y]
14    # the line at infinity       : q2 + K_to_int[x]
15    # the point at infinty       : q2 + q
16
17    # build the curve x**2 = yz
18    oval = [K_to_int[x] + q*K_to_int[x**2] for x in K_to_int]
19    oval.append(q2 + K_to_int[zero] + q*K_to_int[one])
20
21    # add the nucleus
22    oval.append(K_to_int[zero])
23
24    return oval
25
26def is_arc(P, a):
27    # build the dual
28    a = set(a)
29    for b in P.blocks():
30        if len(a.intersection(b)) > 2:
31            return False
32    return True
33
34
35def test():
36    for n in range(1,7):
37        q = 2**n
38        O = hyperoval(q)
39        P = designs.DesarguesianProjectivePlaneDesign(q)
40        assert is_arc(P,O)