Ticket #11143: trac_11143_v2.5.patch

File trac_11143_v2.5.patch, 51.5 KB (added by benjaminfjones, 9 years ago)

addresses log_integral(0) -> 0, exponential_integral_1(0) -> Infinity, sinh_integral issues, etc..

  • doc/en/reference/functions.rst 

    # HG changeset patch
# User Benjamin Jones <benjaminfjones@gmail.com>
# Date 1314069403 25200
# Node ID 01ab5ae4524a8914035aff4867711b5646b7a95d
# Parent  9ab4ab6e12d0ce97566db069205815303514de4d
Trac 11143: adds top-level access to exponential integral functions in sage/functions/exp_integral.py

diff --git a/doc/en/reference/functions.rst b/doc/en/reference/functions.rst
    a b  
    1111   sage/functions/orthogonal_polys
    1212   sage/functions/other
    1313   sage/functions/special
     14   sage/functions/exp_integral
    1415   sage/functions/wigner
    1516   sage/functions/generalized
    1617   sage/functions/prime_pi

  • sage/functions/all.py 

    diff --git a/sage/functions/all.py b/sage/functions/all.py
    a b  
    2424from log import (exp, log, ln, polylog, dilog)
    2525
    2626
    27 from transcendental import (exponential_integral_1,
    28                             zeta, zetaderiv, zeta_symmetric,
    29                             Li, Ei,
    30                             dickman_rho)
     27from transcendental import (zeta, zetaderiv, zeta_symmetric,
     28                            Li, dickman_rho)
    3129
    3230from special import (bessel_I, bessel_J, bessel_K, bessel_Y,
    3331                     hypergeometric_U, Bessel,
    … …  
    3533                     spherical_hankel1, spherical_hankel2,
    3634                     spherical_harmonic, jacobi,
    3735                     inverse_jacobi,
    38                      lngamma, exp_int, error_fcn, elliptic_e,
     36                     lngamma, error_fcn, elliptic_e,
    3937                     elliptic_f, elliptic_ec, elliptic_eu,
    4038                     elliptic_kc, elliptic_pi, elliptic_j,
    4139                     airy_ai, airy_bi)
    … …  
    6462                         kronecker_delta)
    6563
    6664from min_max import max_symbolic, min_symbolic
     65
     66from exp_integral import (exp_integral_e, exp_integral_e1, log_integral, li,
     67                          sin_integral, cos_integral, Si, Ci,
     68                          sinh_integral, cosh_integral, Shi, Chi,
     69                          exponential_integral_1, Ei)

  • new file sage/functions/exp_integral.py 

    diff --git a/sage/functions/exp_integral.py b/sage/functions/exp_integral.py
new file mode 100644
    - +  
     1r"""
     2Exponential Integrals
     3
     4AUTHORS:
     5
     6- Benjamin Jones (2011-06-12)
     7
     8This module provides easy access to many exponential integral
     9special functions. It utilizes Maxima's `special functions package`_ and
     10the `mpmath library`_.
     11
     12REFERENCES:
     13
     14- [AS]_ Abramowitz and Stegun: *Handbook of Mathematical Functions*
     15- Wikipedia Entry: http://en.wikipedia.org/wiki/Exponential_integral
     16- Online Encyclopedia of Special Function: http://algo.inria.fr/esf/index.html
     17- NIST Digital Library of Mathematical Functions: http://dlmf.nist.gov/
     18- Maxima `special functions package`_
     19- `mpmath library`_
     20
     21.. [AS] 'Handbook of Mathematical Functions', Milton Abramowitz and Irene
     22   A. Stegun, National Bureau of Standards Applied Mathematics Series, 55.
     23   See also http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/.
     24.. _`special functions package`: http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/en/maxima_15.html
     25.. _`mpmath library`: http://code.google.com/p/mpmath/
     26
     27AUTHORS:
     28
     29- Benjamin Jones
     30
     31    Implementations of the classes ``Function_exp_integral_*``.
     32
     33- David Joyner and William Stein
     34
     35    Authors of the code which was moved from special.py and trans.py.
     36    Implementation of :meth:`exp_int` (from sage/functions/special.py).
     37    Implementation of :meth:`exponential_integral_1` (from
     38    sage/functions/transcendental.py).
     39
     40"""
     41
     42#*****************************************************************************
     43#       Copyright (C) 2011 Benjamin Jones <benjaminfjones@gmail.com>
     44#
     45#  Distributed under the terms of the GNU General Public License (GPL)
     46#
     47#    This code is distributed in the hope that it will be useful,
     48#    but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of
     49#    MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE.  See the GNU
     50#    General Public License for more details.
     51#
     52#  The full text of the GPL is available at:
     53#
     54#                  http://www.gnu.org/licenses/
     55#*****************************************************************************
     56
     57import sage.interfaces.all
     58from sage.misc.sage_eval import sage_eval
     59from sage.symbolic.function import BuiltinFunction, is_inexact
     60from sage.calculus.calculus import maxima
     61from sage.symbolic.expression import Expression
     62from sage.structure.parent import Parent
     63from sage.structure.coerce import parent
     64from sage.libs.mpmath import utils as mpmath_utils
     65mpmath_utils_call = mpmath_utils.call # eliminate some overhead in _evalf_
     66
     67from sage.rings.rational_field import RationalField
     68from sage.rings.real_mpfr import RealField
     69from sage.rings.complex_field import ComplexField
     70from sage.rings.all import ZZ, QQ, RR, RDF
     71from sage.functions.log import exp, log
     72from sage.functions.trig import sin, cos
     73from sage.functions.hyperbolic import sinh, cosh
     74
     75
     76class Function_exp_integral_e(BuiltinFunction):
     77    r"""
     78    The generalized complex exponential integral `E_n(z)` defined by
     79
     80    .. math::
     81
     82        \operatorname{E_n}(z) = \int_1^{\infty} \frac{e^{-z t}}{t^n} \; dt
     83
     84    for complex numbers `n` and `z`, see [AS]_ 5.1.4.
     85
     86    The special case where `n = 1` is denoted in Sage by
     87    ``exp_integral_e1``.
     88
     89    EXAMPLES:
     90
     91    Numerical evaluation is handled using mpmath::
     92
     93        sage: N(exp_integral_e(1,1))
     94        0.219383934395520
     95        sage: exp_integral_e(1, RealField(100)(1))
     96        0.21938393439552027367716377546
     97
     98    We can compare this to PARI's evaluation of
     99    :meth:`exponential_integral_1`::
     100
     101        sage: N(exponential_integral_1(1))
     102        0.219383934395520
     103
     104    We can verify one case of [AS]_ 5.1.45, i.e.
     105    `E_n(z) = z^{n-1}\Gamma(1-n,z)`::
     106
     107        sage: N(exp_integral_e(2, 3+I))
     108        0.00354575823814662 - 0.00973200528288687*I
     109        sage: N((3+I)*gamma(-1, 3+I))
     110        0.00354575823814662 - 0.00973200528288687*I
     111
     112    Maxima returns the following improper integral as a multiple of
     113    ``exp_integral_e(1,1)``::
     114
     115        sage: uu = integral(e^(-x)*log(x+1),x,0,oo)
     116        sage: uu
     117        e*exp_integral_e(1, 1)
     118        sage: uu.n(digits=30)
     119        0.596347362323194074341078499369
     120
     121    Symbolic derivatives and integrals are handled by Sage and Maxima::
     122
     123        sage: x = var('x')
     124        sage: f = exp_integral_e(2,x)
     125        sage: f.diff(x)
     126        -exp_integral_e(1, x)
     127
     128        sage: f.integrate(x)
     129        -exp_integral_e(3, x)
     130
     131        sage: f = exp_integral_e(-1,x)
     132        sage: f.integrate(x)
     133        Ei(-x) - gamma(-1, x)
     134
     135    Some special values of ``exp_integral_e`` can be simplified.
     136    [AS]_ 5.1.23::
     137
     138        sage: exp_integral_e(0,x)
     139        e^(-x)/x
     140
     141    [AS]_ 5.1.24::
     142
     143        sage: exp_integral_e(6,0)
     144        1/5
     145        sage: nn = var('nn')
     146        sage: assume(nn > 1)
     147        sage: f = exp_integral_e(nn,0)
     148        sage: f.simplify()
     149        1/(nn - 1)
     150
     151
     152    ALGORITHM:
     153
     154    Numerical evaluation is handled using mpmath, but symbolics are handled
     155    by Sage and Maxima.
     156
     157    """
     158    def __init__(self):
     159        """
     160        See the docstring for :meth:`Function_exp_integral_e`.
     161
     162        EXAMPLES::
     163
     164            sage: exp_integral_e(1,0)
     165            exp_integral_e(1, 0)
     166
     167        """
     168        BuiltinFunction.__init__(self, "exp_integral_e", nargs=2,
     169                                 latex_name=r'exp_integral_e',
     170                                 conversions=dict(maxima='expintegral_e'))
     171
     172    def _eval_(self, n, z):
     173        """
     174        EXAMPLES::
     175
     176            sage: exp_integral_e(1.0, x)
     177            exp_integral_e(1.00000000000000, x)
     178            sage: exp_integral_e(x, 1.0)
     179            exp_integral_e(x, 1.00000000000000)
     180            sage: exp_integral_e(1.0, 1.0)
     181            0.219383934395520
     182
     183        """
     184        if not isinstance(n, Expression) and not isinstance(z, Expression) and \
     185               (is_inexact(n) or is_inexact(z)):
     186            coercion_model = sage.structure.element.get_coercion_model()
     187            n, z = coercion_model.canonical_coercion(n, z)
     188            return self._evalf_(n, z, parent(n))
     189
     190        z_zero = False
     191        # special case: z == 0 and n > 1
     192        if isinstance(z, Expression):
     193            if z.is_trivial_zero():
     194                z_zero = True # for later
     195                if n > 1:
     196                    return 1/(n-1)
     197        else:
     198            if not z:
     199                z_zero = True
     200                if n > 1:
     201                    return 1/(n-1)
     202
     203        # special case: n == 0
     204        if isinstance(n, Expression):
     205            if n.is_trivial_zero():
     206                if z_zero:
     207                    return None
     208                else:
     209                    return exp(-z)/z
     210        else:
     211            if not n:
     212                if z_zero:
     213                    return None
     214                else:
     215                    return exp(-z)/z
     216
     217        return None # leaves the expression unevaluated
     218
     219    def _evalf_(self, n, z, parent=None):
     220        """
     221        EXAMPLES::
     222
     223            sage: N(exp_integral_e(1, 1+I))
     224            0.000281624451981418 - 0.179324535039359*I
     225            sage: exp_integral_e(1, RealField(100)(1))
     226            0.21938393439552027367716377546
     227
     228        """
     229        import mpmath
     230        return mpmath_utils.call(mpmath.expint, n, z, parent=parent)
     231
     232    def _derivative_(self, n, z, diff_param=None):
     233        """
     234        If `n` is an integer strictly larger than 0, then the derivative of
     235        `E_n(z)` with respect to `z` is
     236        `-E_{n-1}(z)`. See [AS]_ 5.1.26.
     237
     238        EXAMPLES::
     239
     240            sage: x = var('x')
     241            sage: f = exp_integral_e(2,x)
     242            sage: f.diff(x)
     243            -exp_integral_e(1, x)
     244
     245            sage: f = exp_integral_e(2,sqrt(x))
     246            sage: f.diff(x)
     247            -1/2*exp_integral_e(1, sqrt(x))/sqrt(x)
     248
     249        """
     250        if n in ZZ and n > 0:
     251            return -1*exp_integral_e(n-1,z)
     252        else:
     253            raise NotImplementedError("The derivative of this function is only implemented for n = 1, 2, 3, ...")
     254
     255exp_integral_e = Function_exp_integral_e()
     256
     257
     258class Function_exp_integral_e1(BuiltinFunction):
     259    r"""
     260    The generalized complex exponential integral `E_1(z)` defined by
     261
     262    .. math::
     263
     264        \operatorname{E_1}(z) = \int_z^\infty \frac{e^{-t}}{t}\; dt
     265
     266    see [AS]_ 5.1.4.
     267
     268    EXAMPLES:
     269
     270    Numerical evaluation is handled using mpmath::
     271
     272        sage: N(exp_integral_e1(1))
     273        0.219383934395520
     274        sage: exp_integral_e1(RealField(100)(1))
     275        0.21938393439552027367716377546
     276
     277    We can compare this to PARI's evaluation of
     278    :meth:`exponential_integral_1`::
     279
     280        sage: N(exp_integral_e1(2.0))
     281        0.0489005107080611
     282        sage: N(exponential_integral_1(2.0))
     283        0.0489005107080611
     284
     285    Symbolic derivatives and integrals are handled by Sage and Maxima::
     286
     287        sage: x = var('x')
     288        sage: f = exp_integral_e1(x)
     289        sage: f.diff(x)
     290        -e^(-x)/x
     291
     292        sage: f.integrate(x)
     293        -exp_integral_e(2, x)
     294
     295    ALGORITHM:
     296
     297    Numerical evaluation is handled using mpmath, but symbolics are handled
     298    by Sage and Maxima.
     299
     300    """
     301    def __init__(self):
     302        """
     303        See the docstring for :class:`Function_exp_integral_e1`.
     304
     305        EXAMPLES::
     306
     307            sage: exp_integral_e1(1)
     308            exp_integral_e1(1)
     309
     310        """
     311        BuiltinFunction.__init__(self, "exp_integral_e1", nargs=1,
     312                                 latex_name=r'exp_integral_e1',
     313                                 conversions=dict(maxima='expintegral_e1'))
     314
     315    def _eval_(self, z):
     316        """
     317        EXAMPLES::
     318
     319            sage: exp_integral_e1(x)
     320            exp_integral_e1(x)
     321            sage: exp_integral_e1(1.0)
     322            0.219383934395520
     323
     324        """
     325        if not isinstance(z, Expression) and is_inexact(z):
     326            return self._evalf_(z, parent(z))
     327
     328        return None # leaves the expression unevaluated
     329
     330    def _evalf_(self, z, parent=None):
     331        """
     332        EXAMPLES::
     333
     334            sage: N(exp_integral_e1(1+I))
     335            0.000281624451981418 - 0.179324535039359*I
     336            sage: exp_integral_e1(RealField(200)(0.5))
     337            0.55977359477616081174679593931508523522684689031635351524829
     338
     339        """
     340        import mpmath
     341        return mpmath_utils_call(mpmath.e1, z, parent=parent)
     342
     343    def _derivative_(self, z, diff_param=None):
     344        """
     345        The derivative of `E_1(z)` is `-e^{-z}/z`. See [AS], 5.1.26.
     346
     347        EXAMPLES::
     348
     349            sage: x = var('x')
     350            sage: f = exp_integral_e1(x)
     351            sage: f.diff(x)
     352            -e^(-x)/x
     353
     354            sage: f = exp_integral_e1(x^2)
     355            sage: f.diff(x)
     356            -2*e^(-x^2)/x
     357
     358        """
     359        return -exp(-z)/z
     360
     361exp_integral_e1 = Function_exp_integral_e1()
     362
     363
     364class Function_log_integral(BuiltinFunction):
     365    r"""
     366    The logarithmic integral `\operatorname{li}(z)` defined by
     367
     368    .. math::
     369
     370        \operatorname{li}(x) = \int_0^z \frac{dt}{\ln(t)} = \operatorname{Ei}(\ln(x))
     371
     372    for x > 1 and by analytic continuation for complex arguments z (see [AS]_ 5.1.3).
     373
     374    EXAMPLES:
     375
     376    Numerical evaluation for real and complex arguments is handled using mpmath::
     377
     378        sage: N(log_integral(3))
     379        2.16358859466719
     380        sage: N(log_integral(3), digits=30)
     381        2.16358859466719197287692236735
     382        sage: log_integral(ComplexField(100)(3+I))
     383        2.2879892769816826157078450911 + 0.87232935488528370139883806779*I
     384        sage: log_integral(0)
     385        0
     386
     387    Symbolic derivatives and integrals are handled by Sage and Maxima::
     388
     389        sage: x = var('x')
     390        sage: f = log_integral(x)
     391        sage: f.diff(x)
     392        1/log(x)
     393
     394        sage: f.integrate(x)
     395        x*log_integral(x) - Ei(2*log(x))
     396
     397    Here is a test from the mpmath documentation. There are
     398    1,925,320,391,606,803,968,923 many prime numbers less than 1e23. The
     399    value of ``log_integral(1e23)`` is very close to this::
     400
     401        sage: log_integral(1e23)
     402        1.92532039161405e21
     403
     404    ALGORITHM:
     405
     406    Numerical evaluation is handled using mpmath, but symbolics are handled
     407    by Sage and Maxima.
     408
     409    REFERENCES:
     410
     411    - http://en.wikipedia.org/wiki/Logarithmic_integral_function
     412    - mpmath documentation: `logarithmic-integral`_
     413
     414    .. _`logarithmic-integral`: http://mpmath.googlecode.com/svn/trunk/doc/build/functions/expintegrals.html#logarithmic-integral
     415
     416
     417    """
     418    def __init__(self):
     419        """
     420        See the docstring for ``Function_log_integral``.
     421
     422        EXAMPLES::
     423
     424            sage: log_integral(3)
     425            log_integral(3)
     426
     427        """
     428        BuiltinFunction.__init__(self, "log_integral", nargs=1,
     429                                 latex_name=r'log_integral',
     430                                 conversions=dict(maxima='expintegral_li'))
     431
     432    def _eval_(self, z):
     433        """
     434        EXAMPLES::
     435
     436            sage: z = var('z')
     437            sage: log_integral(z)
     438            log_integral(z)
     439            sage: log_integral(3.0)
     440            2.16358859466719
     441            sage: log_integral(0)
     442            0
     443
     444        """
     445        if isinstance(z, Expression):
     446            if z.is_trivial_zero():         # special case: z = 0
     447                return z
     448        else:
     449            if is_inexact(z):
     450                return self._evalf_(z, parent(z))
     451            elif not z:
     452                return z
     453        return None # leaves the expression unevaluated
     454
     455    def _evalf_(self, z, parent=None):
     456        """
     457        EXAMPLES::
     458
     459            sage: N(log_integral(1e6))
     460            78627.5491594622
     461            sage: log_integral(RealField(200)(1e6))
     462            78627.549159462181919862910747947261161321874382421767074759
     463
     464        """
     465        import mpmath
     466        return mpmath_utils_call(mpmath.li, z, parent=parent)
     467
     468    def _derivative_(self, z, diff_param=None):
     469        """
     470        The derivative of `\operatorname{li}(z) is `1/log(z)`.
     471
     472        EXAMPLES::
     473
     474            sage: x = var('x')
     475            sage: f = log_integral(x)
     476            sage: f.diff(x)
     477            1/log(x)
     478
     479            sage: f = log_integral(x^2)
     480            sage: f.diff(x)
     481            2*x/log(x^2)
     482
     483        """
     484        return 1/log(z)
     485
     486li = log_integral = Function_log_integral()
     487
     488
     489class Function_sin_integral(BuiltinFunction):
     490    r"""
     491    The trigonometric integral `\operatorname{Si}(z)` defined by
     492
     493    .. math::
     494
     495        \operatorname{Si}(z) = \int_0^z \frac{\sin(t)}{t}\; dt,
     496
     497    see [AS]_ 5.2.1.
     498
     499    EXAMPLES:
     500
     501    Numerical evaluation for real and complex arguments is handled using mpmath::
     502
     503        sage: sin_integral(0)
     504        0
     505        sage: sin_integral(0.0)
     506        0.000000000000000
     507        sage: sin_integral(3.0)
     508        1.84865252799947
     509        sage: N(sin_integral(3), digits=30)
     510        1.84865252799946825639773025111
     511        sage: sin_integral(ComplexField(100)(3+I))
     512        2.0277151656451253616038525998 + 0.015210926166954211913653130271*I
     513
     514    The alias `Si` can be used instead of `sin_integral`::
     515
     516        sage: Si(3.0)
     517        1.84865252799947
     518
     519    The limit of `\operatorname{Si}(z)` as `z \to \infty` is `\pi/2`::
     520
     521        sage: N(sin_integral(1e23))
     522        1.57079632679490
     523        sage: N(pi/2)
     524        1.57079632679490
     525
     526    At 200 bits of precision `\operatorname{Si}(10^{23})` agrees with `\pi/2` up to
     527    `10^{-24}`::
     528
     529        sage: sin_integral(RealField(200)(1e23))
     530        1.5707963267948966192313288218697837425815368604836679189519
     531        sage: N(pi/2, prec=200)
     532        1.5707963267948966192313216916397514420985846996875529104875
     533
     534    The exponential sine integral is analytic everywhere::
     535
     536        sage: sin_integral(-1.0)
     537        -0.946083070367183
     538        sage: sin_integral(-2.0)
     539        -1.60541297680269
     540        sage: sin_integral(-1e23)
     541        -1.57079632679490
     542
     543    Symbolic derivatives and integrals are handled by Sage and Maxima::
     544
     545        sage: x = var('x')
     546        sage: f = sin_integral(x)
     547        sage: f.diff(x)
     548        sin(x)/x
     549
     550        sage: f.integrate(x)
     551        x*sin_integral(x) + cos(x)
     552
     553        sage: integrate(sin(x)/x, x)
     554        1/2*I*Ei(-I*x) - 1/2*I*Ei(I*x)
     555
     556    Compare values of the functions `\operatorname{Si}(x)` and
     557    `f(x) = (1/2)i \cdot \operatorname{Ei}(-ix) - (1/2)i \cdot
     558    \operatorname{Ei}(ix) - \pi/2`, which are both anti-derivatives of
     559    `\sin(x)/x`, at some random positive real numbers::
     560
     561        sage: f(x) = 1/2*I*Ei(-I*x) - 1/2*I*Ei(I*x) - pi/2
     562        sage: g(x) = sin_integral(x)
     563        sage: R = [ abs(RDF.random_element()) for i in range(100) ]
     564        sage: all(abs(f(x) - g(x)) < 1e-10 for x in R)
     565        True
     566
     567    The Nielsen spiral is the parametric plot of (Si(t), Ci(t))::
     568
     569        sage: x=var('x')
     570        sage: f(x) = sin_integral(x)
     571        sage: g(x) = cos_integral(x)
     572        sage: P = parametric_plot([f, g], (x, 0.5 ,20))
     573        sage: show(P, frame=True, axes=False)
     574
     575    ALGORITHM:
     576
     577    Numerical evaluation is handled using mpmath, but symbolics are handled
     578    by Sage and Maxima.
     579
     580    REFERENCES:
     581
     582    - http://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometric_integral
     583    - mpmath documentation: `si`_
     584
     585    .. _`si`: http://mpmath.googlecode.com/svn/trunk/doc/build/functions/expintegrals.html#si
     586
     587    """
     588    def __init__(self):
     589        """
     590        See the docstring for ``Function_sin_integral``.
     591
     592        EXAMPLES::
     593
     594            sage: sin_integral(1)
     595            sin_integral(1)
     596
     597        """
     598        BuiltinFunction.__init__(self, "sin_integral", nargs=1,
     599                                 latex_name=r'\operatorname{Si}',
     600                                 conversions=dict(maxima='expintegral_si'))
     601
     602    def _eval_(self, z):
     603        """
     604        EXAMPLES::
     605
     606            sage: z = var('z')
     607            sage: sin_integral(z)
     608            sin_integral(z)
     609            sage: sin_integral(3.0)
     610            1.84865252799947
     611            sage: sin_integral(0)
     612            0
     613
     614        """
     615        if not isinstance(z, Expression) and is_inexact(z):
     616            return self._evalf_(z, parent(z))
     617
     618        # special case: z = 0
     619        if isinstance(z, Expression):
     620            if z.is_trivial_zero():
     621                return z
     622        else:
     623            if not z:
     624                return z
     625
     626        return None # leaves the expression unevaluated
     627
     628    def _evalf_(self, z, parent=None):
     629        """
     630        EXAMPLES:
     631
     632        The limit `\operatorname{Si}(z)` as `z \to \infty`  is `\pi/2`::
     633
     634            sage: N(sin_integral(1e23) - pi/2)
     635            0.000000000000000
     636
     637        At 200 bits of precision `\operatorname{Si}(10^{23})` agrees with `\pi/2` up to
     638        `10^{-24}`::
     639
     640            sage: sin_integral(RealField(200)(1e23))
     641            1.5707963267948966192313288218697837425815368604836679189519
     642            sage: N(pi/2, prec=200)
     643            1.5707963267948966192313216916397514420985846996875529104875
     644
     645        The exponential sine integral is analytic everywhere, even on the
     646        negative real axis::
     647
     648            sage: sin_integral(-1.0)
     649            -0.946083070367183
     650            sage: sin_integral(-2.0)
     651            -1.60541297680269
     652            sage: sin_integral(-1e23)
     653            -1.57079632679490
     654
     655        """
     656        import mpmath
     657        return mpmath_utils_call(mpmath.si, z, parent=parent)
     658
     659    def _derivative_(self, z, diff_param=None):
     660        """
     661        The derivative of `\operatorname{Si}(z)` is `\sin(z)/z` if `z` is not zero. The derivative
     662        at `z = 0` is `1` (but this exception is not currently implimented).
     663
     664        EXAMPLES::
     665
     666            sage: x = var('x')
     667            sage: f = sin_integral(x)
     668            sage: f.diff(x)
     669            sin(x)/x
     670
     671            sage: f = sin_integral(x^2)
     672            sage: f.diff(x)
     673            2*sin(x^2)/x
     674
     675        """
     676        return sin(z)/z
     677
     678Si = sin_integral = Function_sin_integral()
     679
     680
     681class Function_cos_integral(BuiltinFunction):
     682    r"""
     683    The trigonometric integral `\operatorname{Ci}(z)` defined by
     684
     685    .. math::
     686
     687        \operatorname{Ci}(z) = \gamma + \log(z) + \int_0^z \frac{\cos(t)-1}{t}\; dt,
     688
     689    where `\gamma` is the Euler gamma constant (``euler_gamma`` in Sage),
     690    see [AS]_ 5.2.1.
     691
     692    EXAMPLES:
     693
     694    Numerical evaluation for real and complex arguments is handled using mpmath::
     695
     696        sage: cos_integral(3.0)
     697        0.119629786008000
     698
     699    The alias `Ci` can be used instead of `cos_integral`::
     700
     701        sage: Ci(3.0)
     702        0.119629786008000
     703
     704    Compare ``cos_integral(3.0)`` to the definition of the value using
     705    numerical integration::
     706
     707        sage: N(euler_gamma + log(3.0) + integrate((cos(x)-1)/x, x, 0, 3.0) - cos_integral(3.0)) < 1e-14
     708        True
     709
     710    Arbitrary precision and complex arguments are handled::
     711
     712        sage: N(cos_integral(3), digits=30)
     713        0.119629786008000327626472281177
     714        sage: cos_integral(ComplexField(100)(3+I))
     715        0.078134230477495714401983633057 - 0.37814733904787920181190368789*I
     716
     717    The limit `\operatorname{Ci}(z)` as `z \to \infty` is zero::
     718
     719        sage: N(cos_integral(1e23))
     720        -3.24053937643003e-24
     721
     722    Symbolic derivatives and integrals are handled by Sage and Maxima::
     723
     724        sage: x = var('x')
     725        sage: f = cos_integral(x)
     726        sage: f.diff(x)
     727        cos(x)/x
     728
     729        sage: f.integrate(x)
     730        x*cos_integral(x) - sin(x)
     731
     732    The Nielsen spiral is the parametric plot of (Si(t), Ci(t))::
     733
     734        sage: t=var('t')
     735        sage: f(t) = sin_integral(t)
     736        sage: g(t) = cos_integral(t)
     737        sage: P = parametric_plot([f, g], (t, 0.5 ,20))
     738        sage: show(P, frame=True, axes=False)
     739
     740    ALGORITHM:
     741
     742    Numerical evaluation is handled using mpmath, but symbolics are handled
     743    by Sage and Maxima.
     744
     745    REFERENCES:
     746
     747    - http://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometric_integral
     748    - mpmath documentation: `ci`_
     749
     750    .. _`ci`: http://mpmath.googlecode.com/svn/trunk/doc/build/functions/expintegrals.html#ci
     751
     752    """
     753    def __init__(self):
     754        """
     755        See the docstring for :class:`Function_cos_integral`.
     756
     757        EXAMPLES::
     758
     759            sage: cos_integral(1)
     760            cos_integral(1)
     761
     762        """
     763        BuiltinFunction.__init__(self, "cos_integral", nargs=1,
     764                                 latex_name=r'\operatorname{Ci}',
     765                                 conversions=dict(maxima='expintegral_ci'))
     766
     767    def _eval_(self, z):
     768        """
     769        EXAMPLES::
     770
     771            sage: z = var('z')
     772            sage: cos_integral(z)
     773            cos_integral(z)
     774            sage: cos_integral(3.0)
     775            0.119629786008000
     776            sage: cos_integral(0)
     777            cos_integral(0)
     778            sage: N(cos_integral(0))
     779            -infinity
     780
     781        """
     782        if not isinstance(z, Expression) and is_inexact(z):
     783            return self._evalf_(z, parent(z))
     784
     785        return None # leaves the expression unevaluated
     786
     787    def _evalf_(self, z, parent=None):
     788        """
     789        EXAMPLES::
     790
     791            sage: N(cos_integral(1e23)) < 1e-20
     792            True
     793            sage: N(cos_integral(1e-10), digits=30)
     794            -22.4486352650389235918737540487
     795            sage: cos_integral(ComplexField(100)(I))
     796            0.83786694098020824089467857943 + 1.5707963267948966192313216916*I
     797
     798        """
     799        import mpmath
     800        return mpmath_utils_call(mpmath.ci, z, parent=parent)
     801
     802    def _derivative_(self, z, diff_param=None):
     803        """
     804        The derivative of `\operatorname{Ci}(z)` is `\cos(z)/z` if `z` is not zero.
     805
     806        EXAMPLES::
     807
     808            sage: x = var('x')
     809            sage: f = cos_integral(x)
     810            sage: f.diff(x)
     811            cos(x)/x
     812
     813            sage: f = cos_integral(x^2)
     814            sage: f.diff(x)
     815            2*cos(x^2)/x
     816
     817        """
     818        return cos(z)/z
     819
     820Ci = cos_integral = Function_cos_integral()
     821
     822
     823class Function_sinh_integral(BuiltinFunction):
     824    r"""
     825    The trigonometric integral `\operatorname{Shi}(z)` defined by
     826
     827    .. math::
     828
     829        \operatorname{Shi}(z) = \int_0^z \frac{\sinh(t)}{t}\; dt,
     830
     831    see [AS]_ 5.2.3.
     832
     833    EXAMPLES:
     834
     835    Numerical evaluation for real and complex arguments is handled using mpmath::
     836
     837        sage: sinh_integral(3.0)
     838        4.97344047585981
     839        sage: sinh_integral(1.0)
     840        1.05725087537573
     841        sage: sinh_integral(-1.0)
     842        -1.05725087537573
     843
     844    The alias `Shi` can be used instead of `sinh_integral`::
     845
     846        sage: Shi(3.0)
     847        4.97344047585981
     848
     849    Compare ``sinh_integral(3.0)`` to the definition of the value using
     850    numerical integration::
     851
     852        sage: N(integrate((sinh(x))/x, x, 0, 3.0) - sinh_integral(3.0)) < 1e-14
     853        True
     854
     855    Arbitrary precision and complex arguments are handled::
     856
     857        sage: N(sinh_integral(3), digits=30)
     858        4.97344047585980679771041838252
     859        sage: sinh_integral(ComplexField(100)(3+I))
     860        3.9134623660329374406788354078 + 3.0427678212908839256360163759*I
     861
     862    The limit `\operatorname{Shi}(z)` as `z \to \infty` is `\infty`::
     863
     864        sage: N(sinh_integral(Infinity))
     865        +infinity
     866
     867    Symbolic derivatives and integrals are handled by Sage and Maxima::
     868
     869        sage: x = var('x')
     870        sage: f = sinh_integral(x)
     871        sage: f.diff(x)
     872        sinh(x)/x
     873
     874        sage: f.integrate(x)
     875        x*sinh_integral(x) - cosh(x)
     876
     877    Note that due to some problems with the way Maxima handles these
     878    expressions, definite integrals can sometimes give unexpected
     879    results (typically when using inexact endpoints) due to
     880    inconsistent branching::
     881
     882        sage: integrate(sinh_integral(x), x, 0, 1/2)
     883        -cosh(1/2) + 1/2*sinh_integral(1/2) + 1
     884        sage: integrate(sinh_integral(x), x, 0, 1/2).n() # correct
     885        0.125872409703453
     886        sage: integrate(sinh_integral(x), x, 0, 0.5).n() # incorrect!
     887        0.125872409703453 + 1.57079632679490*I
     888
     889    ALGORITHM:
     890
     891    Numerical evaluation is handled using mpmath, but symbolics are handled
     892    by Sage and Maxima.
     893
     894    REFERENCES:
     895
     896    - http://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometric_integral
     897    - mpmath documentation: `shi`_
     898
     899    .. _`shi`: http://mpmath.googlecode.com/svn/trunk/doc/build/functions/expintegrals.html#shi
     900
     901    """
     902    def __init__(self):
     903        """
     904        See the docstring for ``Function_sinh_integral``.
     905
     906        EXAMPLES::
     907
     908            sage: sinh_integral(1)
     909            sinh_integral(1)
     910
     911        """
     912        BuiltinFunction.__init__(self, "sinh_integral", nargs=1,
     913                                 latex_name=r'\operatorname{Shi}',
     914                                 conversions=dict(maxima='expintegral_shi'))
     915
     916    def _eval_(self, z):
     917        """
     918        EXAMPLES::
     919
     920            sage: z = var('z')
     921            sage: sinh_integral(z)
     922            sinh_integral(z)
     923            sage: sinh_integral(3.0)
     924            4.97344047585981
     925            sage: sinh_integral(0)
     926            0
     927
     928        """
     929        if not isinstance(z, Expression) and is_inexact(z):
     930            return self._evalf_(z, parent(z))
     931
     932        # special case: z = 0
     933        if isinstance(z, Expression):
     934            if z.is_trivial_zero():
     935                return z
     936        else:
     937            if not z:
     938                return z
     939
     940        return None # leaves the expression unevaluated
     941
     942    def _evalf_(self, z, parent=None):
     943        """
     944        EXAMPLES::
     945
     946            sage: N(sinh_integral(1e-10), digits=30)
     947            1.00000000000000003643219731550e-10
     948            sage: sinh_integral(ComplexField(100)(I))
     949            0.94608307036718301494135331382*I
     950
     951        """
     952        import mpmath
     953        return mpmath_utils_call(mpmath.shi, z, parent=parent)
     954
     955    def _derivative_(self, z, diff_param=None):
     956        """
     957        The derivative of `\operatorname{Shi}(z)` is `\sinh(z)/z`.
     958
     959        EXAMPLES::
     960
     961            sage: x = var('x')
     962            sage: f = sinh_integral(x)
     963            sage: f.diff(x)
     964            sinh(x)/x
     965
     966            sage: f = sinh_integral(ln(x))
     967            sage: f.diff(x)
     968            sinh(log(x))/(x*log(x))
     969
     970        """
     971        return sinh(z)/z
     972
     973Shi = sinh_integral = Function_sinh_integral()
     974
     975
     976class Function_cosh_integral(BuiltinFunction):
     977    r"""
     978    The trigonometric integral `\operatorname{Chi}(z)` defined by
     979
     980    .. math::
     981
     982        \operatorname{Chi}(z) = \gamma + \log(z) + \int_0^z \frac{\cosh(t)-1}{t}\; dt,
     983
     984    see [AS]_ 5.2.4.
     985
     986    EXAMPLES:
     987
     988    Numerical evaluation for real and complex arguments is handled using mpmath::
     989
     990        sage: cosh_integral(1.0)
     991        0.837866940980208
     992
     993    The alias `Chi` can be used instead of `cosh_integral`::
     994
     995        sage: Chi(1.0)
     996        0.837866940980208
     997
     998    Here is an example from the mpmath documentation::
     999
     1000        sage: f(x) = cosh_integral(x)
     1001        sage: find_root(f, 0.1, 1.0)
     1002        0.5238225713894826
     1003
     1004    Compare ``cosh_integral(3.0)`` to the definition of the value using
     1005    numerical integration::
     1006
     1007        sage: N(euler_gamma + log(3.0) + integrate((cosh(x)-1)/x, x, 0, 3.0) -
     1008        ...     cosh_integral(3.0)) < 1e-14
     1009        True
     1010
     1011    Arbitrary precision and complex arguments are handled::
     1012
     1013        sage: N(cosh_integral(3), digits=30)
     1014        4.96039209476560976029791763669
     1015        sage: cosh_integral(ComplexField(100)(3+I))
     1016        3.9096723099686417127843516794 + 3.0547519627014217273323873274*I
     1017
     1018    The limit of `\operatorname{Chi}(z)` as `z \to \infty` is `\infty`::
     1019
     1020        sage: N(cosh_integral(Infinity))
     1021        +infinity
     1022
     1023    Symbolic derivatives and integrals are handled by Sage and Maxima::
     1024
     1025        sage: x = var('x')
     1026        sage: f = cosh_integral(x)
     1027        sage: f.diff(x)
     1028        cosh(x)/x
     1029
     1030        sage: f.integrate(x)
     1031        x*cosh_integral(x) - sinh(x)
     1032
     1033    ALGORITHM:
     1034
     1035    Numerical evaluation is handled using mpmath, but symbolics are handled
     1036    by Sage and Maxima.
     1037
     1038    REFERENCES:
     1039
     1040    - http://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometric_integral
     1041    - mpmath documentation: `chi`_
     1042
     1043    .. _`chi`: http://mpmath.googlecode.com/svn/trunk/doc/build/functions/expintegrals.html#chi
     1044
     1045    """
     1046    def __init__(self):
     1047        """
     1048        See the docstring for ``Function_cosh_integral``.
     1049
     1050        EXAMPLES::
     1051
     1052            sage: cosh_integral(1)
     1053            cosh_integral(1)
     1054
     1055        """
     1056        BuiltinFunction.__init__(self, "cosh_integral", nargs=1,
     1057                                 latex_name=r'\operatorname{Chi}',
     1058                                 conversions=dict(maxima='expintegral_chi'))
     1059
     1060    def _eval_(self, z):
     1061        """
     1062        EXAMPLES::
     1063
     1064            sage: z = var('z')
     1065            sage: cosh_integral(z)
     1066            cosh_integral(z)
     1067            sage: cosh_integral(3.0)
     1068            4.96039209476561
     1069
     1070        """
     1071        if not isinstance(z, Expression) and is_inexact(z):
     1072            return self._evalf_(z, parent(z))
     1073
     1074        return None
     1075
     1076    def _evalf_(self, z, parent=None):
     1077        """
     1078        EXAMPLES::
     1079
     1080            sage: N(cosh_integral(1e-10), digits=30)
     1081            -22.4486352650389235918737540487
     1082            sage: cosh_integral(ComplexField(100)(I))
     1083            0.33740392290096813466264620389 + 1.5707963267948966192313216916*I
     1084
     1085        """
     1086        import mpmath
     1087        return mpmath_utils_call(mpmath.chi, z, parent=parent)
     1088
     1089    def _derivative_(self, z, diff_param=None):
     1090        """
     1091        The derivative of `\operatorname{Chi}(z)` is `\cosh(z)/z`.
     1092
     1093        EXAMPLES::
     1094
     1095            sage: x = var('x')
     1096            sage: f = cosh_integral(x)
     1097            sage: f.diff(x)
     1098            cosh(x)/x
     1099
     1100            sage: f = cosh_integral(ln(x))
     1101            sage: f.diff(x)
     1102            cosh(log(x))/(x*log(x))
     1103
     1104        """
     1105        return cosh(z)/z
     1106
     1107Chi = cosh_integral = Function_cosh_integral()
     1108
     1109
     1110###################################################################
     1111## Code below here was moved from sage/functions/transcendental.py
     1112## This occured as part of Trac #11143.
     1113###################################################################
     1114#
     1115# This class has a name which is not specific enough
     1116# see Function_exp_integral_e above, for example, which
     1117# is the "generalized" exponential integral function. We
     1118# are leaving the name the same for backwards compatibility
     1119# purposes.
     1120class Function_exp_integral(BuiltinFunction):
     1121    r"""
     1122    The generalized complex exponential integral Ei(z) defined by
     1123
     1124    .. math::
     1125
     1126        \operatorname{Ei}(x) = \int_{-\infty}^x \frac{e^t}{t}\; dt
     1127
     1128    for x > 0 and for complex arguments by analytic continuation,
     1129    see [AS]_ 5.1.2.
     1130
     1131    EXAMPLES::
     1132
     1133        sage: Ei(10)
     1134        Ei(10)
     1135        sage: Ei(I)
     1136        Ei(I)
     1137        sage: Ei(3+I)
     1138        Ei(I + 3)
     1139        sage: Ei(1.3)
     1140        2.72139888023202
     1141
     1142    The branch cut for this function is along the negative real axis::
     1143
     1144        sage: Ei(-3 + 0.1*I)
     1145        -0.0129379427181693 + 3.13993830250942*I
     1146        sage: Ei(-3 - 0.1*I)
     1147        -0.0129379427181693 - 3.13993830250942*I
     1148
     1149    ALGORITHM: Uses mpmath.
     1150
     1151    """
     1152    def __init__(self):
     1153        """
     1154        Return the value of the complex exponential integral Ei(z) at a
     1155        complex number z.
     1156
     1157        EXAMPLES::
     1158
     1159            sage: Ei(10)
     1160            Ei(10)
     1161            sage: Ei(I)
     1162            Ei(I)
     1163            sage: Ei(3+I)
     1164            Ei(I + 3)
     1165            sage: Ei(1.3)
     1166            2.72139888023202
     1167
     1168        The branch cut for this function is along the negative real axis::
     1169
     1170            sage: Ei(-3 + 0.1*I)
     1171            -0.0129379427181693 + 3.13993830250942*I
     1172            sage: Ei(-3 - 0.1*I)
     1173            -0.0129379427181693 - 3.13993830250942*I
     1174
     1175        ALGORITHM: Uses mpmath.
     1176        """
     1177        BuiltinFunction.__init__(self, "Ei",
     1178                                 conversions=dict(maxima='expintegral_ei'))
     1179
     1180    def _eval_(self, x ):
     1181        """
     1182        EXAMPLES::
     1183
     1184            sage: Ei(10)
     1185            Ei(10)
     1186            sage: Ei(I)
     1187            Ei(I)
     1188            sage: Ei(1.3)
     1189            2.72139888023202
     1190            sage: Ei(10r)
     1191            Ei(10)
     1192            sage: Ei(1.3r)
     1193            2.7213988802320235
     1194        """
     1195        if not isinstance(x, Expression) and is_inexact(x):
     1196            return self._evalf_(x, parent(x))
     1197        return None
     1198
     1199    def _evalf_(self, x, parent=None):
     1200        """
     1201        EXAMPLES::
     1202
     1203            sage: Ei(10).n()
     1204            2492.22897624188
     1205            sage: Ei(20).n()
     1206            2.56156526640566e7
     1207            sage: Ei(I).n()
     1208            0.337403922900968 + 2.51687939716208*I
     1209            sage: Ei(3+I).n()
     1210            7.82313467600158 + 6.09751978399231*I
     1211        """
     1212        import mpmath
     1213        return mpmath_utils_call(mpmath.ei, x, parent=parent)
     1214
     1215    def __call__(self, x, prec=None, coerce=True, hold=False ):
     1216        """
     1217        Note that the ``prec`` argument is deprecated. The precision for
     1218        the result is deduced from the precision of the input. Convert
     1219        the input to a higher precision explicitly if a result with higher
     1220        precision is desired.
     1221
     1222        EXAMPLES::
     1223
     1224            sage: t = Ei(RealField(100)(2.5)); t
     1225            7.0737658945786007119235519625
     1226            sage: t.prec()
     1227            100
     1228
     1229            sage: Ei(1.1, prec=300)
     1230            doctest:...: DeprecationWarning: The prec keyword argument is deprecated. Explicitly set the precision of the input, for example Ei(RealField(300)(1)), or use the prec argument to .n() for exact inputs, e.g., Ei(1).n(300), instead.
     1231            2.16737827956340306615064476647912607220394065907142504328679588538509331805598360907980986
     1232        """
     1233        if prec is not None:
     1234            from sage.misc.misc import deprecation
     1235            deprecation("The prec keyword argument is deprecated. Explicitly set the precision of the input, for example Ei(RealField(300)(1)), or use the prec argument to .n() for exact inputs, e.g., Ei(1).n(300), instead.")
     1236
     1237            import mpmath
     1238            return mpmath_utils_call(mpmath.ei, x, prec=prec)
     1239
     1240        return BuiltinFunction.__call__(self, x, coerce=coerce, hold=hold)
     1241
     1242    def _derivative_(self, x, diff_param=None):
     1243        """
     1244        EXAMPLES::
     1245
     1246            sage: Ei(x).diff(x)
     1247            e^x/x
     1248            sage: Ei(x).diff(x).subs(x=1)
     1249            e
     1250            sage: Ei(x^2).diff(x)
     1251            2*e^(x^2)/x
     1252            sage: f = function('f')
     1253            sage: Ei(f(x)).diff(x)
     1254            e^f(x)*D[0](f)(x)/f(x)
     1255        """
     1256        return exp(x)/x
     1257
     1258Ei = exp_integral_ei = Function_exp_integral()
     1259
     1260
     1261# moved here from sage/functions/transcendental.py
     1262def exponential_integral_1(x, n=0):
     1263    r"""
     1264    Returns the exponential integral `E_1(x)`. If the optional
     1265    argument `n` is given, computes list of the first
     1266    `n` values of the exponential integral
     1267    `E_1(x m)`.
     1268
     1269    The exponential integral `E_1(x)` is
     1270
     1271    .. math::
     1272
     1273                      E_1(x) = \int_{x}^{\infty} e^{-t}/t dt
     1274
     1275
     1276
     1277    INPUT:
     1278
     1279
     1280    -  ``x`` - a positive real number
     1281
     1282    -  ``n`` - (default: 0) a nonnegative integer; if
     1283       nonzero, then return a list of values E_1(x\*m) for m =
     1284       1,2,3,...,n. This is useful, e.g., when computing derivatives of
     1285       L-functions.
     1286
     1287
     1288    OUTPUT:
     1289
     1290
     1291    -  ``float`` - if n is 0 (the default) or
     1292
     1293    -  ``list`` - list of floats if n 0
     1294
     1295
     1296    EXAMPLES::
     1297
     1298        sage: exponential_integral_1(2)
     1299        0.04890051070806112
     1300        sage: w = exponential_integral_1(2,4); w
     1301        [0.04890051070806112, 0.0037793524098489067, 0.00036008245216265873, 3.7665622843924751e-05] # 32-bit
     1302        [0.04890051070806112, 0.0037793524098489063, 0.00036008245216265873, 3.7665622843924534e-05] # 64-bit
     1303        sage: exponential_integral_1(0)
     1304        +Infinity
     1305
     1306    IMPLEMENTATION: We use the PARI C-library functions eint1 and
     1307    veceint1.
     1308
     1309    REFERENCE:
     1310
     1311    - See page 262, Prop 5.6.12, of Cohen's book "A Course in
     1312      Computational Algebraic Number Theory".
     1313
     1314    REMARKS: When called with the optional argument n, the PARI
     1315    C-library is fast for values of n up to some bound, then very very
     1316    slow. For example, if x=5, then the computation takes less than a
     1317    second for n=800000, and takes "forever" for n=900000.
     1318    """
     1319    if isinstance(x, Expression):
     1320        if x.is_trivial_zero():
     1321            from sage.rings.infinity import Infinity
     1322            return Infinity
     1323        else:
     1324            raise NotImplementedError("Use the symbolic exponential integral " +
     1325                                      "function: exp_integral_e1.")
     1326    elif not is_inexact(x): # x is exact and not an expression
     1327        if not x: # test if exact x == 0 quickly
     1328            from sage.rings.infinity import Infinity
     1329            return Infinity
     1330
     1331    # else x is in not an exact 0
     1332    from sage.libs.pari.all import pari
     1333    if n <= 0:
     1334        return float(pari(x).eint1())
     1335    else:
     1336        return [float(z) for z in pari(x).eint1(n)]

  • sage/functions/other.py 

    diff --git a/sage/functions/other.py b/sage/functions/other.py
    a b  
    2020from sage.symbolic.function import is_inexact
    2121from sage.functions.log import exp
    2222from sage.functions.trig import arctan2
    23 from sage.functions.transcendental import Ei
     23from sage.functions.exp_integral import Ei
    2424from sage.libs.mpmath import utils as mpmath_utils
    2525
    2626one_half = ~SR(2)

  • sage/functions/special.py 

    diff --git a/sage/functions/special.py b/sage/functions/special.py
    a b  
    16881688    deprecation("The method lngamma() is deprecated. Use log_gamma() instead.")
    16891689    return log_gamma(t)
    16901690
    1691 def exp_int(t):
    1692     r"""
    1693     The exponential integral `\int_t^\infty e^{-x}/x dx` (t
    1694     belongs to RR).  This function is deprecated - please use
    1695     ``Ei`` or ``exponential_integral_1`` as needed instead.
    1696 
    1697     EXAMPLES::
    1698        
    1699         sage: exp_int(6)
    1700         doctest:...: DeprecationWarning: The method exp_int() is deprecated. Use -Ei(-x) or exponential_integral_1(x) as needed instead.
    1701         0.000360082452162659
    1702     """
    1703     from sage.misc.misc import deprecation
    1704     deprecation("The method exp_int() is deprecated. Use -Ei(-x) or exponential_integral_1(x) as needed instead.")
    1705     try:
    1706         return t.eint1()
    1707     except AttributeError:
    1708         from sage.libs.pari.all import pari
    1709         try:
    1710             return pari(t).eint1()
    1711         except:
    1712             raise NotImplementedError
    1713 
    17141691def error_fcn(t):
    17151692    r"""
    17161693    The complementary error function

  • sage/functions/transcendental.py 

    diff --git a/sage/functions/transcendental.py b/sage/functions/transcendental.py
    a b  
    1818#*****************************************************************************
    1919
    2020import sys
    21 from sage.libs.mpmath import utils as mpmath_utils
    2221import  sage.libs.pari.all
    2322from sage.libs.pari.all import pari
    2423import sage.rings.complex_field as complex_field
    … …  
    3938CC = complex_field.ComplexField()
    4039I = CC.gen(0)
    4140
    42 def exponential_integral_1(x, n=0):
    43     r"""
    44     Returns the exponential integral `E_1(x)`. If the optional
    45     argument `n` is given, computes list of the first
    46     `n` values of the exponential integral
    47     `E_1(x m)`.
    48    
    49     The exponential integral `E_1(x)` is
    50    
    51     .. math::
    52    
    53                       E_1(x) = \int_{x}^{\infty} e^{-t}/t dt     
    54    
    55    
    56    
    57     INPUT:
    58    
    59    
    60     -  ``x`` - a positive real number
    61    
    62     -  ``n`` - (default: 0) a nonnegative integer; if
    63        nonzero, then return a list of values E_1(x\*m) for m =
    64        1,2,3,...,n. This is useful, e.g., when computing derivatives of
    65        L-functions.
    66    
    67    
    68     OUTPUT:
    69    
    70    
    71     -  ``float`` - if n is 0 (the default) or
    72    
    73     -  ``list`` - list of floats if n 0
    74    
    75    
    76     EXAMPLES::
    77    
    78         sage: exponential_integral_1(2)
    79         0.04890051070806112
    80         sage: w = exponential_integral_1(2,4); w
    81         [0.04890051070806112, 0.003779352409848906..., 0.00036008245216265873, 3.7665622843924...e-05]
    82    
    83     IMPLEMENTATION: We use the PARI C-library functions eint1 and
    84     veceint1.
    85    
    86     REFERENCE:
    87 
    88     - See page 262, Prop 5.6.12, of Cohen's book "A Course in
    89       Computational Algebraic Number Theory".
    90    
    91     REMARKS: When called with the optional argument n, the PARI
    92     C-library is fast for values of n up to some bound, then very very
    93     slow. For example, if x=5, then the computation takes less than a
    94     second for n=800000, and takes "forever" for n=900000.
    95     """
    96     if n <= 0:
    97         return float(pari(x).eint1())
    98     else:
    99         return [float(z) for z in pari(x).eint1(n)]
    100 
    10141
    10242class Function_zeta(GinacFunction):
    10343    def __init__(self):
    … …  
    241181    return (s/2 + 1).gamma()   *    (s-1)   * (R.pi()**(-s/2))  *  s.zeta()
    242182
    243183
    244 ##     # Use PARI on complex nubmer
    245 ##     prec = s.prec()
    246 ##     s = pari.new_with_bits_prec(s, prec)
    247 ##     pi = pari.pi()
    248 ##     w = (s/2 + 1).gamma() * (s-1) * pi **(-s/2) * s.zeta()
    249 ##     z = w._sage_()
    250 ##     if z.prec() < prec:
    251 ##         raise RuntimeError, "Error computing zeta_symmetric(%s) -- precision loss."%s
    252 ##     return z
    253 
    254 
    255 #def pi_approx(prec=53):
    256 #    """
    257 #    Return pi computed to prec bits of precision.
    258 #    """
    259 #   return real_field.RealField(prec).pi()
    260 
    261 
    262 class Function_exp_integral(BuiltinFunction):
    263     def __init__(self):
    264         """
    265         Return the value of the complex exponential integral Ei(z) at a
    266         complex number z.
    267        
    268         EXAMPLES::
    269 
    270             sage: Ei(10)
    271             Ei(10)
    272             sage: Ei(I)
    273             Ei(I)
    274             sage: Ei(3+I)
    275             Ei(I + 3)
    276             sage: Ei(1.3)
    277             2.72139888023202
    278            
    279         The branch cut for this function is along the negative real axis::
    280    
    281             sage: Ei(-3 + 0.1*I)
    282             -0.0129379427181693 + 3.13993830250942*I
    283             sage: Ei(-3 - 0.1*I)
    284             -0.0129379427181693 - 3.13993830250942*I
    285    
    286         ALGORITHM: Uses mpmath.
    287         """
    288         BuiltinFunction.__init__(self, "Ei")
    289 
    290     def _eval_(self, x ):
    291         """
    292         EXAMPLES::
    293 
    294             sage: Ei(10)
    295             Ei(10)
    296             sage: Ei(I)
    297             Ei(I)
    298             sage: Ei(1.3)
    299             2.72139888023202
    300             sage: Ei(10r)
    301             Ei(10)
    302             sage: Ei(1.3r)
    303             2.72139888023202
    304         """
    305         if not isinstance(x, Expression) and is_inexact(x):
    306             return self._evalf_(x, parent(x))
    307         return None
    308            
    309     def _evalf_(self, x, parent=None):
    310         """
    311         EXAMPLES::
    312 
    313             sage: Ei(10).n()
    314             2492.22897624188
    315             sage: Ei(20).n()
    316             2.56156526640566e7
    317             sage: Ei(I).n()
    318             0.337403922900968 + 2.51687939716208*I
    319             sage: Ei(3+I).n()
    320             7.82313467600158 + 6.09751978399231*I
    321         """
    322         import mpmath
    323         if isinstance(parent, Parent) and hasattr(parent, 'prec'):
    324             prec = parent.prec()
    325         else:
    326             prec = 53
    327         return mpmath_utils.call(mpmath.ei, x, prec=prec)
    328 
    329     def __call__(self, x, prec=None, coerce=True, hold=False ):
    330         """
    331         Note that the ``prec`` argument is deprecated. The precision for
    332         the result is deduced from the precision of the input. Convert
    333         the input to a higher precision explicitly if a result with higher
    334         precision is desired.
    335 
    336         EXAMPLES::
    337 
    338             sage: t = Ei(RealField(100)(2.5)); t
    339             7.0737658945786007119235519625
    340             sage: t.prec()
    341             100
    342 
    343             sage: Ei(1.1, prec=300)
    344             doctest:...: DeprecationWarning: The prec keyword argument is deprecated. Explicitly set the precision of the input, for example Ei(RealField(300)(1)), or use the prec argument to .n() for exact inputs, e.g., Ei(1).n(300), instead.
    345             2.16737827956340306615064476647912607220394065907142504328679588538509331805598360907980986
    346         """
    347         if prec is not None:
    348             from sage.misc.misc import deprecation
    349             deprecation("The prec keyword argument is deprecated. Explicitly set the precision of the input, for example Ei(RealField(300)(1)), or use the prec argument to .n() for exact inputs, e.g., Ei(1).n(300), instead.")
    350            
    351             import mpmath
    352             return mpmath_utils.call(mpmath.ei, x, prec=prec)
    353 
    354         return BuiltinFunction.__call__(self, x, coerce=coerce, hold=hold)
    355 
    356     def _derivative_(self, x, diff_param=None):
    357         """
    358         EXAMPLES::
    359        
    360             sage: Ei(x).diff(x)
    361             e^x/x
    362             sage: Ei(x).diff(x).subs(x=1)
    363             e
    364             sage: Ei(x^2).diff(x)
    365             2*e^(x^2)/x
    366             sage: f = function('f')
    367             sage: Ei(f(x)).diff(x)
    368             e^f(x)*D[0](f)(x)/f(x)
    369         """
    370         return exp(x)/x
    371 
    372 Ei = Function_exp_integral()
    373 
    374 
    375184def Li(x, eps_rel=None, err_bound=False):
    376185    r"""
    377186    Return value of the function Li(x) as a real double field element.

  • sage/interfaces/maxima_lib.py 

    diff --git a/sage/interfaces/maxima_lib.py b/sage/interfaces/maxima_lib.py
    a b  
    13551355    sage.functions.log.polylog : lambda N,X : [[mqapply],[[max_li, max_array],N],X],
    13561356    sage.functions.other.psi1 : lambda X : [[mqapply],[[max_psi, max_array],0],X],
    13571357    sage.functions.other.psi2 : lambda N,X : [[mqapply],[[max_psi, max_array],N],X],
    1358     sage.functions.other.Ei : lambda X : [[max_gamma_incomplete], 0, X]
     1358    sage.functions.exp_integral.Ei : lambda X : [[max_gamma_incomplete], 0, X]
    13591359}
    13601360
    13611361

  • sage/misc/sagedoc.py 

    diff --git a/sage/misc/sagedoc.py b/sage/misc/sagedoc.py
    a b  
    878878    ``search_src(string, interact=False).splitlines()`` gives the
    879879    number of matches. ::
    880880
    881         sage: len(search_src('log', 'derivative', interact=False).splitlines()) < 8
     881        sage: len(search_src('log', 'derivative', interact=False).splitlines()) < 9
    882882        True
    883883        sage: len(search_src('log', 'derivative', interact=False, multiline=True).splitlines()) > 30
    884884        True
    … …  
    900900        misc/sagedoc.py:... s = search_src('Matrix', path_re='matrix', interact=False); s.find('x') > 0
    901901        misc/sagedoc.py:... s = search_src('MatRiX', path_re='matrix', interact=False); s.find('x') > 0
    902902        misc/sagedoc.py:... s = search_src('MatRiX', path_re='matrix', interact=False, ignore_case=True); s.find('x') > 0
    903         misc/sagedoc.py:... len(search_src('log', 'derivative', interact=False).splitlines()) < 8
     903        misc/sagedoc.py:... len(search_src('log', 'derivative', interact=False).splitlines()) < 9
    904904        misc/sagedoc.py:... len(search_src('log', 'derivative', interact=False, multiline=True).splitlines()) > 30
    905905        misc/sagedoc.py:... print search_src('^ *sage[:] .*search_src\(', interact=False) # long time
    906906        misc/sagedoc.py:... len(search_src("matrix", interact=False).splitlines()) > 9000 # long time

  • sage/schemes/elliptic_curves/lseries_ell.py 

    diff --git a/sage/schemes/elliptic_curves/lseries_ell.py b/sage/schemes/elliptic_curves/lseries_ell.py
    a b  
    99    RationalField,
    1010    ComplexField)
    1111from math import sqrt, exp, ceil
    12 import sage.functions.transcendental as transcendental
     12import sage.functions.exp_integral as exp_integral
    1313R = RealField()
    1414Q = RationalField()
    1515C = ComplexField()
    … …  
    471471        an = self.__E.anlist(k)           # list of Sage Integers
    472472        # Compute z = e^(-2pi/sqrt(N))
    473473        pi = 3.14159265358979323846
    474         v = transcendental.exponential_integral_1(2*pi/sqrtN, k)
     474        v = exp_integral.exponential_integral_1(2*pi/sqrtN, k)
    475475        L = 2*float(sum([ (v[n-1] * an[n])/n for n in xrange(1,k+1)]))
    476476        error = 2*exp(-2*pi*(k+1)/sqrtN)/(1-exp(-2*pi/sqrtN))
    477477        return R(L), R(error)