# source:sage/modular/modform/theta.py@5829:79bdb531a58e

Revision 5829:79bdb531a58e, 3.0 KB checked in by William Stein <wstein@…>, 6 years ago (diff)

Computation of theta series (factored out).

Line
1"""
2q-expansions of Theta Series
3
4AUTHOR:
5    -- William Stein
6"""
7
8from sage.rings.all  import Integer, ZZ, PowerSeriesRing
9
10from math import ceil, sqrt
11
12def theta2_qexp(prec=10, var='q', K=ZZ, sparse=False):
13    r"""
14    Return the $q$-expansion of the series
15      $$16 \theta_2 = \sum_{n odd} q^n. 17$$
18
19    INPUT:
20        prec -- integer; the absolute precision of the output
21        var -- (default: 'q') variable name
22        K -- (default: ZZ) base ring of answer
23
24    OUTPUT:
25        a power series over K
26
27    EXAMPLES:
28        sage: theta2_qexp(18)
29        q + q^9 + O(q^18)
30        sage: theta2_qexp(49)
31        q + q^9 + q^25 + O(q^49)
32        sage: theta2_qexp(100, 'q', QQ)
33        q + q^9 + q^25 + q^49 + q^81 + O(q^100)
34        sage: f = theta2_qexp(100, 't', GF(3)); f
35        t + t^9 + t^25 + t^49 + t^81 + O(t^100)
36        sage: parent(f)
37        Power Series Ring in t over Finite Field of size 3
38        sage: theta2_qexp(200)
39        q + q^9 + q^25 + q^49 + q^81 + q^121 + q^169 + O(q^200)
40        sage: f = theta2_qexp(20,sparse=True); f
41        q + q^9 + O(q^20)
42        sage: parent(f)
43        Sparse Power Series Ring in q over Integer Ring
44    """
45    prec = Integer(prec)
46    if prec <= 0:
47        raise ValueError, "prec must be positive"
48    if sparse:
49        v = {}
50    else:
51        v = [Integer(0)] * prec
52    one = Integer(1)
53    n = int(sqrt(prec))
54    if n*n < prec:
55        n += 1
56    for m in xrange(1, n, 2):
57        v[m*m] = one
58    R = PowerSeriesRing(K, sparse=sparse, names=var)
59    return R(v, prec=prec)
60
61def theta_qexp(prec=10, var='q', K=ZZ, sparse=False):
62    r"""
63    Return the $q$-expansion of the standard $\theta$ series
64    $$65 \theta = 1 + 2\sum_{n=1}{^\infty} q^{n^2}. 66$$
67
68    INPUT:
69        prec -- integer; the absolute precision of the output
70        var -- (default: 'q') variable name
71        K -- (default: ZZ) base ring of answer
72
73    OUTPUT:
74        a power series over K
75
76    EXAMPLES:
77        sage: theta_qexp(25)
78        1 + 2*q + 2*q^4 + 2*q^9 + 2*q^16 + O(q^25)
79        sage: theta_qexp(10)
80        1 + 2*q + 2*q^4 + 2*q^9 + O(q^10)
81        sage: theta_qexp(100)
82        1 + 2*q + 2*q^4 + 2*q^9 + 2*q^16 + 2*q^25 + 2*q^36 + 2*q^49 + 2*q^64 + 2*q^81 + O(q^100)
83        sage: theta_qexp(100, 't')
84        1 + 2*t + 2*t^4 + 2*t^9 + 2*t^16 + 2*t^25 + 2*t^36 + 2*t^49 + 2*t^64 + 2*t^81 + O(t^100)
85        sage: theta_qexp(100, 't', GF(2))
86        1 + O(t^100)
87        sage: f = theta_qexp(20,sparse=True); f
88        1 + 2*q + 2*q^4 + 2*q^9 + 2*q^16 + O(q^20)
89        sage: parent(f)
90        Sparse Power Series Ring in q over Integer Ring
91
92    """
93    prec = Integer(prec)
94    if prec <= 0:
95        raise ValueError, "prec must be positive"
96    if sparse:
97        v = {}
98    else:
99        v = [Integer(0)] * prec
100    v[0] = Integer(1)
101    two = Integer(2)
102    n = int(sqrt(prec))
103    if n*n != prec:
104        n += 1
105    for m in xrange(1, n):
106        v[m*m] = two
107
108    R = PowerSeriesRing(K, sparse=sparse, names=var)
109    return R(v, prec=prec)
110
Note: See TracBrowser for help on using the repository browser.